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中國(guó)孩子數(shù)學(xué)碾壓國(guó)外學(xué)生？我們的課堂上根本沒(méi)有數(shù)學(xué)！
2019-10-04 | 文章來(lái)源：網(wǎng)絡(luò) | 分享到：
大家都說(shuō)中國(guó)的數(shù)學(xué)課程比國(guó)外的難很多，中國(guó)的基礎(chǔ)教育扎實(shí)，中國(guó)學(xué)生的數(shù)學(xué)可以碾壓國(guó)外學(xué)生。真的嗎？
我反思的結(jié)論是：我們數(shù)學(xué)課的問(wèn)題不在于難度，而在于我們的數(shù)學(xué)課堂上壓根就沒(méi)有數(shù)學(xué)。
01.
我是一個(gè)中國(guó)學(xué)校的學(xué)渣。不是謙虛，是官方認(rèn)證的。我在國(guó)內(nèi)上中學(xué)的時(shí)候，150分的數(shù)學(xué)考試，最低考過(guò)27分。
27分大家知道是什么概念嗎？我們那時(shí)候考試用的是答題卡，27分就相當(dāng)于是把這個(gè)答題卡放到地上，然后踩兩腳，把鞋印放到機(jī)器里，估計(jì)這樣出來(lái)的分?jǐn)?shù)也不止27分。
我考27分那次，是我們班的倒數(shù)第三名。還有兩個(gè)比我更差的，我們?nèi)齻€(gè)人現(xiàn)在還是很好的朋友。
比我考得差的那兩個(gè)人，倒數(shù)第二的考了26分，我以一分險(xiǎn)勝。他現(xiàn)在在美國(guó)一個(gè)世界500強(qiáng)的公司擔(dān)任副總裁級(jí)的高管?？嫉箶?shù)第一的那個(gè)人考了9分，9分啊，如果我是兩個(gè)鞋印，他就只能是大半個(gè)鞋印了。這個(gè)人后來(lái)考上了英國(guó)的牛津大學(xué)，現(xiàn)在是全球知名的經(jīng)濟(jì)學(xué)家。
所以請(qǐng)大家放心，如果孩子數(shù)學(xué)成績(jī)不好，不用太焦慮，其實(shí)它代表不了什么，既不代表你不聰明，也不代表你學(xué)習(xí)能力不好，是我們的數(shù)學(xué)課有問(wèn)題。
先和大家分享我的一個(gè)故事。
那是我在英國(guó)讀研究生的時(shí)候，剛?cè)雽W(xué)沒(méi)多久，老師在黑板上講一道題，有一個(gè)7×9的算式，我在下面隨口答了一句63，結(jié)果引來(lái)全班一片驚嘆聲。包括老師在內(nèi)都用特別崇拜的眼光看著我，仿佛看到數(shù)學(xué)之神了。
英國(guó)一直沒(méi)有乘法表和乘法口訣。2015年，英國(guó)前首相卡梅倫和教育部長(zhǎng)摩根兩個(gè)人曾經(jīng)想過(guò)在中小學(xué)生中推廣乘法表和乘法口訣，結(jié)果遭到了媒體和學(xué)生家長(zhǎng)的一致反對(duì)。
有一次卡梅倫在演講的時(shí)候，突然有個(gè)人站起來(lái)問(wèn)他：“8×9等于多少？”卡梅倫當(dāng)時(shí)張口結(jié)舌，目瞪口呆，因?yàn)樗恢?×9等于幾。大家想想，一個(gè)英國(guó)的首相連8×9都算不出來(lái)。而我因?yàn)楹芸焖愠隽?×9＝63，于是就第一次當(dāng)了數(shù)學(xué)的學(xué)霸。
特別巧，沒(méi)過(guò)幾天我們就有一個(gè)測(cè)驗(yàn)，我是從來(lái)沒(méi)有如此期待過(guò)數(shù)學(xué)考試，十多年來(lái)從來(lái)沒(méi)有當(dāng)過(guò)數(shù)學(xué)的好學(xué)生，終于有這個(gè)機(jī)會(huì)了，尤其還是在在國(guó)外，終于有了為國(guó)爭(zhēng)光的機(jī)會(huì)。
到了考試那一天，老師把考題發(fā)下來(lái)，然后我發(fā)現(xiàn)一個(gè)特別奇怪的事，我所有的同學(xué)第一個(gè)動(dòng)作就是從書(shū)包里拿出科學(xué)計(jì)算器，當(dāng)時(shí)我就特別懵，因?yàn)槲以趪?guó)內(nèi)上學(xué)的時(shí)候，計(jì)算器是不能在考試中用的。但是在英國(guó)學(xué)校里，計(jì)算器是一個(gè)必備工具。
所以我眼睜睜的看他們從書(shū)包里拿出計(jì)算器，而全班只有我從書(shū)包里拿出來(lái)的是一疊稿紙。
最后的結(jié)果，可想而知，全班只有我沒(méi)有答完題目，因?yàn)閯e人都是只要知道方法了，他們就可以用計(jì)算器非?？斓乃愠鼋Y(jié)果，而我把大量的時(shí)間都浪費(fèi)在了計(jì)算過(guò)程上。最后在課程結(jié)束的時(shí)候我是唯一一個(gè)沒(méi)有寫(xiě)完答案的人。
02.
于是我開(kāi)始反思，數(shù)學(xué)到底學(xué)什么？我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)真的跟現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān)嗎？我們學(xué)數(shù)學(xué)到底學(xué)的是什么？
大家都說(shuō)中國(guó)的數(shù)學(xué)課程比國(guó)外的難很多，中國(guó)的基礎(chǔ)教育扎實(shí)，中國(guó)學(xué)生的數(shù)學(xué)可以碾壓國(guó)外學(xué)生。
我反思的結(jié)論是：我們數(shù)學(xué)課的問(wèn)題不在于難度，而在于我們的數(shù)學(xué)課堂上壓根就沒(méi)有數(shù)學(xué)。
為什么國(guó)外學(xué)校可以容忍我們認(rèn)為的特別低級(jí)的運(yùn)算無(wú)能，但是他們卻依然能夠培養(yǎng)出那么多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家？我們學(xué)數(shù)學(xué)究竟是學(xué)一種運(yùn)算技巧，還是學(xué)一種數(shù)學(xué)思維。
我反思的結(jié)論，也就是我今天的題目：數(shù)學(xué)是一場(chǎng)游戲。因?yàn)閿?shù)學(xué)是可以脫離現(xiàn)實(shí)生活，在完全想象的世界里進(jìn)行邏輯運(yùn)算的東西，數(shù)學(xué)最大的驕傲，就是可以與現(xiàn)實(shí)生活完全無(wú)關(guān)。
我們現(xiàn)在把數(shù)學(xué)公式都背得很熟練，把幾何的原理背得很熟了，然后用不斷地做各種各樣的題。這就相當(dāng)于我們玩游戲的時(shí)候，我不讓你體驗(yàn)游戲的過(guò)程，我只告訴你，摁前進(jìn)，摁五下，然后跳，往左邊走，然后打，最后到了關(guān)卡，你記住上上下下，左右左右，ABBA，你把這些都記住，然后一遍一遍去訓(xùn)練，就可以完成任務(wù)。
大家覺(jué)得這樣的游戲還有意思嗎？這還是游戲嗎？游戲的目的不是結(jié)果，而我們看到的所有的公式，其實(shí)就是游戲的結(jié)果，運(yùn)用得再熟練，也無(wú)助于我們體驗(yàn)游戲的精髓。
我們需要具備的，是獨(dú)立的思考、有創(chuàng)造力的思考，我們最不需要的就是“被訓(xùn)練”。就如高斯所說(shuō)：“我們需要的是想法，而不是符號(hào)?！?/span>
數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方式就像我們看電影或是看書(shū)一樣。
比如，我們看《西游記》，我不告訴你唐僧為什么取經(jīng)，他經(jīng)歷了什么事情，我就告訴你唐僧經(jīng)過(guò)了九九八十一難，最后取回了真經(jīng)，你要記住這八十一難都是什么，這個(gè)順序還不能亂，最后考試的時(shí)候你要把每一難的名字答上去就算通過(guò)了。
大家覺(jué)得這樣的閱讀是正確的嗎？如果大家覺(jué)得這樣看書(shū)是不對(duì)的，為什么這樣學(xué)數(shù)學(xué)就是對(duì)的呢？
其實(shí)數(shù)學(xué)和所有的文學(xué)、藝術(shù)、影視作品一樣，都是人類為了娛樂(lè)自己創(chuàng)造出來(lái)的。而且它比我們所有的游戲，比如足球、籃球、和我們看到的所有電影都更自由。
因?yàn)檫@些游戲非常依賴于我們這個(gè)現(xiàn)實(shí)世界的物理性質(zhì)，而數(shù)學(xué)是可以完全天馬行空的創(chuàng)造出一個(gè)世界來(lái)，那個(gè)世界的規(guī)則完全可以由你來(lái)決定，你只要把你想要解答的題目的條件帶入，使用一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?，找出答案就可以了。這就是一個(gè)更加自由、更加考驗(yàn)創(chuàng)造力的游戲。
03.
我們數(shù)學(xué)最大的問(wèn)題，我們每個(gè)人都“隱約”記得一些公式和定義，但清晰記得我們對(duì)它們的”憎恨”！
我說(shuō)數(shù)學(xué)其實(shí)就是一種游戲，你可以在你想象的世界里去制定規(guī)則，考驗(yàn)?zāi)愕膭?chuàng)造力。
我們舉一道“雞兔同籠”題，相信所有的孩子都被考過(guò)這道題：
籠子里有雞和兔若干只， 籠子里有25個(gè)頭和70只腳。問(wèn)：兔子和雞各有多少只？
我不知道大家是怎么做的題，我就記得我學(xué)這道題時(shí)，是在第一次學(xué)一元一次方程式，老師告訴我標(biāo)準(zhǔn)答案是：
我們假設(shè)兔的數(shù)量是 X：
4X＋2×（25－X）=70
X＝10
兔子＝10（只）
雞＝25－10＝15（只）
這么做對(duì)不對(duì)呢？肯定是對(duì)的。那這道題這么做好玩嗎？肯定不好玩。
“雞兔同籠”其實(shí)有特別多的證法，我給大家舉一個(gè)特別好玩的例子。
你想象一個(gè)世界，這一籠子的兔子和雞就在這個(gè)想象的世界里，你站在這個(gè)籠子前面，一聲令下，所有的動(dòng)物都抬起一只腳，這個(gè)時(shí)候還有多少只動(dòng)物站著？
70－25＝45只，還有45只腳站著，你再一聲令下，所有動(dòng)物又都抬起一直腳站著，這時(shí)候還有45－25＝20只腳站著，但是雞已經(jīng)一屁股坐地上了，因?yàn)殡u只有兩只腳全抬起來(lái)了，那站著的全是兔子，這20只腳全是兔子的，所以兔子有10只，雞就是15只。
這樣解這道題就好玩。
這道題還有很多種解法，我們還有一種解法。
假設(shè)雞也有四只腳，因?yàn)槲覀儧](méi)有把它的翅膀算做腳，我們假設(shè)所有的雞也有四只腳，那25個(gè)動(dòng)物里面應(yīng)該有100只腳，那為什么只有70只腳呢？因?yàn)橛?0個(gè)（100－70＝30）翅膀沒(méi)有算做腳嘛！那30個(gè)翅膀肯定就是雞的了，所以就是15只雞。
我們?cè)倥e個(gè)例子：這是一個(gè)矩形，就是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形里面有一個(gè)三角形，問(wèn)題就是：這個(gè)綠色的三角形面積和旁邊藍(lán)色三角形面積的比是多少？
正常來(lái)說(shuō)我們的標(biāo)準(zhǔn)答案是：
三角形的面積＝1／2×底×高
矩形面積＝底×高
這么一算矩形內(nèi)三角形內(nèi)和三角形外的面積比是1：1，這么解對(duì)不對(duì)呢？肯定對(duì)！那這么解好不好玩呢？肯定不好玩。
我們來(lái)說(shuō)另外一種解法。
還是放到我們想象的世界里。
把它想象成一張紙，我們從三角形頂點(diǎn)向下畫(huà)一條線，把它撕開(kāi)，它變成了兩個(gè)方形，每一個(gè)方形都被對(duì)角線分割成了一模一樣的兩個(gè)部分，也就是每一個(gè)方形里面綠色和藍(lán)色部分的面積都是一樣的，他們合起來(lái)的面積也是一樣的，也是1：1。
我們?cè)倥e一個(gè)例子，有條直線上面有兩個(gè)點(diǎn)，從左邊這個(gè)點(diǎn)到達(dá)直線再到達(dá)右邊這個(gè)點(diǎn)最短的距離怎么畫(huà)？我們可以多種情況畫(huà)，怎么才能畫(huà)出最短的線呢？
最簡(jiǎn)單的方法是：
在右邊那個(gè)點(diǎn)給它一個(gè)鏡像，也就是給它一個(gè)對(duì)直線來(lái)說(shuō)對(duì)稱的點(diǎn)，因?yàn)檫@個(gè)藍(lán)色的點(diǎn)和直線上面它對(duì)稱的那個(gè)綠色的點(diǎn)對(duì)于這個(gè)直線的位置是一樣的，所以我們從左邊這個(gè)綠點(diǎn)到右邊這個(gè)綠點(diǎn)，就可以轉(zhuǎn)換成從左邊這個(gè)綠點(diǎn)到右邊這個(gè)藍(lán)點(diǎn)，兩點(diǎn)之間最短的距離是一條直線，它與原來(lái)那條直線有個(gè)交點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)連上直線上面左右兩個(gè)綠點(diǎn)的直線間距離就是我們要畫(huà)的最短的距離。
我們可以不知道那些公式、定理，我們可以在我們想象的世界里把這些東西做的很有意思。這就是數(shù)學(xué)的意義，這就是數(shù)學(xué)訓(xùn)練我們真正的目的。不是訓(xùn)練我們什么計(jì)算能力，它是訓(xùn)練我們一種數(shù)學(xué)思維。
04.
什么是數(shù)學(xué)思維呢？我特意查了一下百度，百度對(duì)數(shù)學(xué)思維的概念是這樣：數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)的思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的思考形式，也就是能夠用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，比如轉(zhuǎn)化與劃歸、從一般到特殊、特殊到一般、函數(shù)/映射的思想等等。
說(shuō)得對(duì)，但不好懂。我怎么理解數(shù)學(xué)思維的呢？數(shù)學(xué)思維就是游戲思維，就是窮盡你的想象力去創(chuàng)造一個(gè)世界，然后用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C和邏輯推理去得到一個(gè)答案。是一種高度抽象并解決問(wèn)題的能力。
數(shù)學(xué)思維給你的是重新看世界的一雙眼睛，看這個(gè)世界的另外一種眼光。有的時(shí)候它可能跟我們對(duì)這個(gè)世界的直覺(jué)理解會(huì)比較大的的區(qū)別。我舉幾個(gè)的例子：
我們知道，自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)。
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12…… 自然數(shù)
2，4，6，8，10，12，14，16，18，20…… 偶數(shù)
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19…… 奇數(shù)
大家覺(jué)得，自然數(shù)、偶數(shù)和奇數(shù)這三種數(shù)那個(gè)數(shù)的數(shù)目多？我們從直覺(jué)上感覺(jué)偶數(shù)和奇數(shù)組合成了自然數(shù)，自然數(shù)自然比它們多，但是從數(shù)學(xué)角度來(lái)說(shuō)它們?nèi)齻€(gè)數(shù)是一樣多的，因?yàn)樗麄內(nèi)齻€(gè)的數(shù)目都是無(wú)窮。
我們?cè)倥e個(gè)例子。
一個(gè)屋子里有23個(gè)人，他們有兩個(gè)人的生日是同一天的可能性大不大？
直覺(jué)來(lái)說(shuō)我們出去坐公交車、去機(jī)場(chǎng)等經(jīng)常會(huì)碰見(jiàn)很多人，但我們都不會(huì)覺(jué)得在這么多人里面會(huì)有兩個(gè)人的生日一樣。
從數(shù)學(xué)的角度來(lái)說(shuō)，在23個(gè)人的這個(gè)人群里，有兩個(gè)人的生日是同月同日的概率超過(guò)50%。為什么？因?yàn)槲覀儼衙恳粋€(gè)人的生日和另外22個(gè)人作對(duì)比，那它就是有253次對(duì)比的機(jī)會(huì)，在這253次對(duì)比中出現(xiàn)相同的概率是非常高的，這個(gè)就被稱為“生日悖論”。
在計(jì)算機(jī)里面呢，有一種專門破解密碼的方式叫做生日攻擊，它的原理就是從生日悖論來(lái)的。
我再舉個(gè)悖論例子。
減肥，從某種數(shù)學(xué)的角度來(lái)說(shuō)，減肥這個(gè)事是不可能的。因?yàn)橄胍獪p掉10斤，首先得減掉5斤，那想減掉5斤，就得先減掉2.5斤，想要減掉2.5斤，就先得減掉1.25斤。這個(gè)是無(wú)窮的對(duì)折，但人無(wú)法減掉一個(gè)無(wú)窮的數(shù)，所以減肥是不可能的。
就像龜兔賽跑。只要烏龜先跑，兔子就永遠(yuǎn)都追不上。為什么？因?yàn)橥米佑肋h(yuǎn)要到達(dá)烏龜之前到達(dá)的那一個(gè)點(diǎn)，那兔子只要到達(dá)那一個(gè)點(diǎn)，那烏龜就又往前移動(dòng)了，所以兔子永遠(yuǎn)都無(wú)法追上烏龜。
我們知道這個(gè)在現(xiàn)實(shí)生活中是不可能的，但是大家想想，這一個(gè)一個(gè)的著名“悖論”，就是數(shù)學(xué)家在玩的一個(gè)一個(gè)游戲。如果說(shuō)我們學(xué)數(shù)學(xué)是希望有用，那我告訴大家，你只要學(xué)會(huì)加減法，會(huì)用計(jì)算器就可以了。因?yàn)閿?shù)學(xué)就是數(shù)學(xué)家在玩的游戲。
那應(yīng)該要怎樣鍛煉數(shù)學(xué)思維？我覺(jué)得要把每一個(gè)數(shù)字都看成游戲中的一個(gè)元素。忘掉所有的公式和定理，用自己愿意、喜歡的方法去求證問(wèn)題，然后不斷試錯(cuò)。
另外就是玩真正的游戲，比如象棋、圍棋、桌游。我前兩天親眼見(jiàn)到了一個(gè)十歲的孩子在玩數(shù)學(xué)推理的桌游，名字叫“達(dá)芬奇密碼”，把兩個(gè)二十八九歲、有碩士學(xué)位的成年人打的大敗。
05.
我總說(shuō)數(shù)學(xué)是一個(gè)游戲，有證據(jù)嗎？讓我們回到數(shù)學(xué)的發(fā)端，畢達(dá)哥拉斯，人類最早的數(shù)學(xué)家之一。
他生活在2600年之前，特別好玩，他認(rèn)為這個(gè)世界就是由數(shù)字支配的，數(shù)字是這個(gè)世界的真理，所以他對(duì)數(shù)字帶有一種神性的膜拜，他給每個(gè)數(shù)字都賦予意義。比如他認(rèn)為1是世界的開(kāi)始，4是完美，5是婚姻等等。
雖然他對(duì)數(shù)字有這樣神性的崇拜，但是他依然在拿數(shù)字做游戲。
比如說(shuō)，他給這些數(shù)字增加了很多的名稱，比如他認(rèn)為6是一個(gè)完滿數(shù)，因?yàn)檫@個(gè)數(shù)可以被1，2，3整除。1加2加3正好等于6，所以他認(rèn)為6這個(gè)數(shù)是一個(gè)完滿數(shù)。
10可以被1，2，5整除，1加2加5等于8，不到10，所以他認(rèn)為10就是個(gè)虧數(shù)，他用這種做游戲的方式給各種各樣的數(shù)字一些新的稱呼。
他還說(shuō)“朋友是你靈魂的倩影，要像220和284一樣親密”，這句話聽(tīng)著就特別像神經(jīng)病人說(shuō)的話啊，220和284兩個(gè)數(shù)字有什么可親密的呢？
220和284這兩個(gè)數(shù)字，畢達(dá)哥拉斯把他們稱之為親和數(shù)，他們代表了友誼和愛(ài)情。因?yàn)?20它可以被1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110整除，這些數(shù)加起來(lái)正好等于284。284可以被1，2，4，71，142整除，這些數(shù)加起來(lái)正好等于220。所以他認(rèn)為284和220是一對(duì)親和數(shù)，他們代表著友誼、愛(ài)情。
所以那個(gè)時(shí)候做徽章，就會(huì)刻著數(shù)字220和284，表示我們之間是好朋友。
畢達(dá)哥拉斯還辦了一所學(xué)校，叫畢達(dá)哥拉斯半圓。
他為了招學(xué)生，他就跟學(xué)生說(shuō)，你們過(guò)來(lái)跟我上課，每上一堂課我就給你多少錢。過(guò)了一段時(shí)間之后，他就跟他的學(xué)生說(shuō)，他說(shuō)“哎，我沒(méi)錢了，我不能給你們上課了，咱們解散吧”。
這時(shí)候?qū)W生學(xué)他的課已經(jīng)很入迷了，學(xué)生就說(shuō)，這不行，你不給我上課，我這日子沒(méi)法過(guò)呀，那這樣，你給我上一堂課，我給你錢吧。所以畢達(dá)哥拉斯就開(kāi)始每上一堂課，學(xué)生們就給他錢，他就把這個(gè)錢給賺回來(lái)了。
畢達(dá)哥拉斯還成立了一個(gè)組織，叫畢達(dá)哥拉斯兄弟會(huì)。最多的時(shí)候有300人。他們?cè)谝黄鹆恼軐W(xué)、數(shù)學(xué)，是當(dāng)時(shí)的一個(gè)精英組織。這個(gè)兄弟會(huì)想加入很難，必須要經(jīng)過(guò)畢達(dá)哥拉斯本人的面試。有一個(gè)人面試沒(méi)通過(guò)就懷恨在心。
有一次趁著戰(zhàn)爭(zhēng)，把畢達(dá)哥拉斯兄弟會(huì)的大門緊鎖，在里面放了一把火，包括畢達(dá)哥拉斯本人在內(nèi)很多兄弟會(huì)的人都被燒死了，只有少數(shù)的幾個(gè)人逃了出來(lái)，逃到了世界各地，最后為畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在世界各地的生根發(fā)芽奠定了基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)也因?yàn)樗麄兌辛伺畈陌l(fā)展。
06.
畢達(dá)哥拉斯之后出現(xiàn)了很多著名的數(shù)學(xué)家，比如歐幾里得，有次上課的時(shí)候，他的學(xué)生突然站起來(lái)問(wèn)他說(shuō)，“我們學(xué)這些東西，現(xiàn)實(shí)生活中到底有什么用”，歐幾里得回頭跟旁邊的奴仆說(shuō)，你給這個(gè)人拿三個(gè)錢幣，讓他走，他居然想從數(shù)學(xué)中得到實(shí)際的用處”。
歐幾里得認(rèn)為數(shù)學(xué)原本就是和實(shí)際生活沒(méi)關(guān)系的，想在現(xiàn)實(shí)中得到實(shí)際的用處就是對(duì)數(shù)學(xué)的羞辱。
歐幾里得之后，希臘對(duì)數(shù)學(xué)的研究，就已經(jīng)偏向幾何了，就算要解決代數(shù)問(wèn)題，一般也套一個(gè)幾何的殼子。直到出現(xiàn)了一個(gè)人，這個(gè)人叫丟番圖，他可以說(shuō)是古希臘集數(shù)學(xué)之大成者，他把代數(shù)從幾何里拽了出來(lái)，這個(gè)人也被稱為代數(shù)之父。
他寫(xiě)了一本書(shū)《算數(shù)》，殘卷現(xiàn)在還保留著。這本書(shū)原來(lái)是收藏在亞歷山大圖書(shū)館的，后來(lái)大家知道亞歷山大圖書(shū)館被毀掉了，很多書(shū)只留下了殘本。
丟番圖之后，因?yàn)樯駥W(xué)的興起，數(shù)學(xué)就一落千丈，一直到一千年之后文藝復(fù)興時(shí)期，人們才重新開(kāi)始關(guān)心數(shù)學(xué)。
1667年，法國(guó)有一個(gè)大法官叫費(fèi)馬，他是一個(gè)數(shù)學(xué)愛(ài)好者，他在《算數(shù)》這本書(shū)的某一頁(yè)寫(xiě)了一句話，他說(shuō)：“當(dāng)n＞2時(shí)，a∧n+b∧n=c∧n，這個(gè)公式?jīng)]有正整數(shù)解，對(duì)于這道題，我已經(jīng)想到了一個(gè)美妙的證法，很可惜地方不夠，沒(méi)法寫(xiě)?！?/span>
就這么一句話，困擾了數(shù)學(xué)家?guī)装倌辍Ｖ钡?994年，才最終驗(yàn)證。人類被它困擾了三百年，被稱為費(fèi)馬大定理。費(fèi)馬大定理的驗(yàn)證過(guò)程，就是整個(gè)數(shù)論的發(fā)展歷史，這里邊有太多熠熠生輝的名字，比如高斯、歐拉等等。
還有很多好玩的故事，比如德國(guó)有一個(gè)數(shù)學(xué)愛(ài)好者，也是個(gè)商人，叫沃爾夫凱勒，他做生意很成功，掙了很多錢，但他追求一個(gè)女孩追不上，很痛苦，準(zhǔn)備自殺。
他是個(gè)德國(guó)人，做事很嚴(yán)謹(jǐn)，自殺那天他列了一個(gè)計(jì)劃：7點(diǎn)干什么、8點(diǎn)干什么……最后要在午夜12點(diǎn)鐘聲響起的時(shí)候，吞槍自盡。但是他做事比較快，9點(diǎn)鐘就把所有事做完了，又不想放棄美感提前自殺，那干點(diǎn)什么呢？
他就隨手抄起了一本書(shū)。因?yàn)槭且粋€(gè)數(shù)學(xué)愛(ài)好者，他拿起的是一本數(shù)學(xué)期刊，里面有一篇論文，是一個(gè)著名數(shù)學(xué)家驗(yàn)證另外兩個(gè)數(shù)學(xué)家對(duì)費(fèi)馬大定理的驗(yàn)證是錯(cuò)誤的，而且他推論費(fèi)馬大定理在現(xiàn)階段是無(wú)法驗(yàn)證的。
沃爾夫凱勒在閱讀中發(fā)現(xiàn)了作者的一個(gè)漏洞——使用了一個(gè)未經(jīng)證明的公式，于是他就拿起筆開(kāi)始對(duì)論文進(jìn)行彌補(bǔ)。等他做了一整晚的驗(yàn)算，補(bǔ)足了論文的漏洞時(shí)，已經(jīng)是第二天早晨了。
這個(gè)時(shí)候，他的心情非常舒暢，作為數(shù)學(xué)愛(ài)好者居然幫助一個(gè)著名的數(shù)學(xué)家補(bǔ)足了論文漏洞。他感覺(jué)生活太美好了，不再想自殺了，之后還捐出了10萬(wàn)馬克，承諾獎(jiǎng)給在他死后100年之內(nèi)，解決費(fèi)馬大定理的人。
最后完成了驗(yàn)證費(fèi)馬大定理的是安德魯·懷爾斯，著名的英國(guó)數(shù)學(xué)家，他在1993年的一次大會(huì)上宣布自己證實(shí)了費(fèi)馬大定理，但在一個(gè)月之內(nèi)，被同行評(píng)議發(fā)現(xiàn)論文中有一個(gè)重大疏忽。
在繼續(xù)補(bǔ)足疏忽中，他一度想要放棄。期間，他的太太一直在鼓勵(lì)他，對(duì)他說(shuō)“我最想要的生日禮物，就是你對(duì)定理的最終驗(yàn)證”。
安德魯?shù)谝淮伟l(fā)布有漏洞的論文是在1993年8月，他太太的生日是在10月，結(jié)果直到第二年的9月19日，他才最終真正完成了費(fèi)馬大定理的驗(yàn)證。
在太太的生日晚會(huì)上，安德魯從樓上拿下來(lái)一疊稿紙交給他的太太，對(duì)她說(shuō)：“我完成了費(fèi)馬大定理，我結(jié)束了困擾人類三百年的難題，這就是我給你的生日禮物?！?/span>
看看，數(shù)學(xué)家也是很會(huì)煽情的。安德魯?shù)淖罱K證明寫(xiě)了足足一百頁(yè)，后來(lái)就有人說(shuō)費(fèi)馬寫(xiě)下那句著名的話“對(duì)于這道題，我已經(jīng)想到了一個(gè)美妙的證明法，但是很可惜地方不夠，沒(méi)法寫(xiě)”的時(shí)候，其實(shí)并沒(méi)有真正驗(yàn)證這個(gè)猜想的能力，因?yàn)楝F(xiàn)在看到的最終證明里，用到了很多費(fèi)馬去世一百年之后才發(fā)明的數(shù)學(xué)模型和公式。
其實(shí)費(fèi)馬大定律就是費(fèi)馬自己想出來(lái)的一個(gè)數(shù)學(xué)游戲，很多的數(shù)學(xué)家來(lái)一起玩兒。而數(shù)學(xué)的發(fā)展就是由一個(gè)又一個(gè)的游戲來(lái)推動(dòng)的。
比如，一個(gè)叫希爾伯特的數(shù)學(xué)家，他有一個(gè)特別的稱呼，叫數(shù)學(xué)之王。他在1900年提出了人類要解決的二十三個(gè)數(shù)學(xué)難題，然后在2000年的時(shí)候，一些數(shù)學(xué)家模仿他，提出了千禧年七大數(shù)學(xué)難題。這些題就是推動(dòng)了這一百多年主流數(shù)學(xué)的發(fā)展，其實(shí)就是三十個(gè)數(shù)學(xué)游戲。
這些游戲包括我們都知道的哥德巴赫猜想，希爾伯特提出的二十三個(gè)人類要解決的數(shù)學(xué)題，目前還有九個(gè)沒(méi)有得到論證。
千禧年的七大數(shù)學(xué)難題已經(jīng)有一個(gè)被驗(yàn)證了，就是龐加萊猜想，被俄羅斯數(shù)學(xué)家格里高利佩雷爾曼驗(yàn)證。他證實(shí)了龐加萊猜想后，沒(méi)有去領(lǐng)菲爾茨獎(jiǎng)，仍然住在圣彼得堡的一個(gè)簡(jiǎn)陋的單身公寓里，他沒(méi)有去領(lǐng)獎(jiǎng)金也不接受媒體的采訪。
后來(lái)美國(guó)的一個(gè)記者終于在圣彼得堡堵住了偑雷爾曼。但是佩雷爾曼就在公寓里面不開(kāi)門，隔著門咆哮：不要來(lái)煩我，我應(yīng)有盡有！
其實(shí)真正的數(shù)學(xué)家的樂(lè)趣不是來(lái)自于現(xiàn)實(shí)生活上的物質(zhì)。而是來(lái)自于數(shù)學(xué)的虛擬世界，在這個(gè)世界盡情的游戲。
07.
如果我們要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)到底在我們現(xiàn)實(shí)中有什么意義，那可以說(shuō)，數(shù)學(xué)思維讓我們有更理性的思考，更有邏輯的分析。能夠用另外一種眼光來(lái)看這個(gè)世界。
最起碼，它能讓我們少上一些當(dāng)，能讓我們看穿一些初級(jí)騙局。
舉個(gè)例子，在雷鋒日記里有一段話說(shuō)：我連過(guò)年所放的假都沒(méi)有休息。我去撿大糞，初一初二那兩天我一共撿大糞六百來(lái)斤。我想這也是響應(yīng)黨的號(hào)召，大積肥，也搞了衛(wèi)生運(yùn)動(dòng)也能夠促進(jìn)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)。
其實(shí)這是一道數(shù)學(xué)題，一共撿大糞六百多斤，兩天撿大糞六百多斤，一天就是一百五十公斤。一百五十公斤的糞便，約等于一千四百坨。
我們假設(shè)雷鋒同志從早上九點(diǎn)出門，晚上五點(diǎn)回來(lái)，這中間不吃不喝不停的勞動(dòng)。平均每小時(shí)撿糞一百七十五坨，每分鐘2.9坨。
我們知道那是大年初一初二，他在撫順，天特別冷，糞便應(yīng)該都凍在地上很難弄的，我們不去計(jì)算鏟下來(lái)需要多少時(shí)間，把所有時(shí)間都忽略掉。平均每二十秒就要撿起一坨，相當(dāng)于他每一步都能撿到。
我看到過(guò)一篇文章寫(xiě)道“雷鋒同志，你哪里是在撿糞呀，你分明就是在糞坑里呀。”
給大家推薦一本書(shū)《數(shù)學(xué)家的嘆息》，不管你是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有困難的孩子，還是家長(zhǎng)、老師，都特別推薦這本書(shū)。
扉頁(yè)上寫(xiě)著《小王子》的作者的一句話：如果你要造船，不要招攬人來(lái)搬木柴，不要指派任務(wù)和工作，而要教他們渴望那無(wú)邊無(wú)際、廣袤的大海。
我反思的結(jié)論是：我們數(shù)學(xué)課的問(wèn)題不在于難度，而在于我們的數(shù)學(xué)課堂上壓根就沒(méi)有數(shù)學(xué)。
01.
我是一個(gè)中國(guó)學(xué)校的學(xué)渣。不是謙虛，是官方認(rèn)證的。我在國(guó)內(nèi)上中學(xué)的時(shí)候，150分的數(shù)學(xué)考試，最低考過(guò)27分。
27分大家知道是什么概念嗎？我們那時(shí)候考試用的是答題卡，27分就相當(dāng)于是把這個(gè)答題卡放到地上，然后踩兩腳，把鞋印放到機(jī)器里，估計(jì)這樣出來(lái)的分?jǐn)?shù)也不止27分。
我考27分那次，是我們班的倒數(shù)第三名。還有兩個(gè)比我更差的，我們?nèi)齻€(gè)人現(xiàn)在還是很好的朋友。
比我考得差的那兩個(gè)人，倒數(shù)第二的考了26分，我以一分險(xiǎn)勝。他現(xiàn)在在美國(guó)一個(gè)世界500強(qiáng)的公司擔(dān)任副總裁級(jí)的高管?？嫉箶?shù)第一的那個(gè)人考了9分，9分啊，如果我是兩個(gè)鞋印，他就只能是大半個(gè)鞋印了。這個(gè)人后來(lái)考上了英國(guó)的牛津大學(xué)，現(xiàn)在是全球知名的經(jīng)濟(jì)學(xué)家。
所以請(qǐng)大家放心，如果孩子數(shù)學(xué)成績(jī)不好，不用太焦慮，其實(shí)它代表不了什么，既不代表你不聰明，也不代表你學(xué)習(xí)能力不好，是我們的數(shù)學(xué)課有問(wèn)題。
先和大家分享我的一個(gè)故事。
那是我在英國(guó)讀研究生的時(shí)候，剛?cè)雽W(xué)沒(méi)多久，老師在黑板上講一道題，有一個(gè)7×9的算式，我在下面隨口答了一句63，結(jié)果引來(lái)全班一片驚嘆聲。包括老師在內(nèi)都用特別崇拜的眼光看著我，仿佛看到數(shù)學(xué)之神了。
英國(guó)一直沒(méi)有乘法表和乘法口訣。2015年，英國(guó)前首相卡梅倫和教育部長(zhǎng)摩根兩個(gè)人曾經(jīng)想過(guò)在中小學(xué)生中推廣乘法表和乘法口訣，結(jié)果遭到了媒體和學(xué)生家長(zhǎng)的一致反對(duì)。
有一次卡梅倫在演講的時(shí)候，突然有個(gè)人站起來(lái)問(wèn)他：“8×9等于多少？”卡梅倫當(dāng)時(shí)張口結(jié)舌，目瞪口呆，因?yàn)樗恢?×9等于幾。大家想想，一個(gè)英國(guó)的首相連8×9都算不出來(lái)。而我因?yàn)楹芸焖愠隽?×9＝63，于是就第一次當(dāng)了數(shù)學(xué)的學(xué)霸。
特別巧，沒(méi)過(guò)幾天我們就有一個(gè)測(cè)驗(yàn)，我是從來(lái)沒(méi)有如此期待過(guò)數(shù)學(xué)考試，十多年來(lái)從來(lái)沒(méi)有當(dāng)過(guò)數(shù)學(xué)的好學(xué)生，終于有這個(gè)機(jī)會(huì)了，尤其還是在在國(guó)外，終于有了為國(guó)爭(zhēng)光的機(jī)會(huì)。
到了考試那一天，老師把考題發(fā)下來(lái)，然后我發(fā)現(xiàn)一個(gè)特別奇怪的事，我所有的同學(xué)第一個(gè)動(dòng)作就是從書(shū)包里拿出科學(xué)計(jì)算器，當(dāng)時(shí)我就特別懵，因?yàn)槲以趪?guó)內(nèi)上學(xué)的時(shí)候，計(jì)算器是不能在考試中用的。但是在英國(guó)學(xué)校里，計(jì)算器是一個(gè)必備工具。
所以我眼睜睜的看他們從書(shū)包里拿出計(jì)算器，而全班只有我從書(shū)包里拿出來(lái)的是一疊稿紙。
最后的結(jié)果，可想而知，全班只有我沒(méi)有答完題目，因?yàn)閯e人都是只要知道方法了，他們就可以用計(jì)算器非?？斓乃愠鼋Y(jié)果，而我把大量的時(shí)間都浪費(fèi)在了計(jì)算過(guò)程上。最后在課程結(jié)束的時(shí)候我是唯一一個(gè)沒(méi)有寫(xiě)完答案的人。
02.
于是我開(kāi)始反思，數(shù)學(xué)到底學(xué)什么？我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)真的跟現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān)嗎？我們學(xué)數(shù)學(xué)到底學(xué)的是什么？
大家都說(shuō)中國(guó)的數(shù)學(xué)課程比國(guó)外的難很多，中國(guó)的基礎(chǔ)教育扎實(shí)，中國(guó)學(xué)生的數(shù)學(xué)可以碾壓國(guó)外學(xué)生。
我反思的結(jié)論是：我們數(shù)學(xué)課的問(wèn)題不在于難度，而在于我們的數(shù)學(xué)課堂上壓根就沒(méi)有數(shù)學(xué)。
為什么國(guó)外學(xué)校可以容忍我們認(rèn)為的特別低級(jí)的運(yùn)算無(wú)能，但是他們卻依然能夠培養(yǎng)出那么多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家？我們學(xué)數(shù)學(xué)究竟是學(xué)一種運(yùn)算技巧，還是學(xué)一種數(shù)學(xué)思維。
我反思的結(jié)論，也就是我今天的題目：數(shù)學(xué)是一場(chǎng)游戲。因?yàn)閿?shù)學(xué)是可以脫離現(xiàn)實(shí)生活，在完全想象的世界里進(jìn)行邏輯運(yùn)算的東西，數(shù)學(xué)最大的驕傲，就是可以與現(xiàn)實(shí)生活完全無(wú)關(guān)。
我們現(xiàn)在把數(shù)學(xué)公式都背得很熟練，把幾何的原理背得很熟了，然后用不斷地做各種各樣的題。這就相當(dāng)于我們玩游戲的時(shí)候，我不讓你體驗(yàn)游戲的過(guò)程，我只告訴你，摁前進(jìn)，摁五下，然后跳，往左邊走，然后打，最后到了關(guān)卡，你記住上上下下，左右左右，ABBA，你把這些都記住，然后一遍一遍去訓(xùn)練，就可以完成任務(wù)。
大家覺(jué)得這樣的游戲還有意思嗎？這還是游戲嗎？游戲的目的不是結(jié)果，而我們看到的所有的公式，其實(shí)就是游戲的結(jié)果，運(yùn)用得再熟練，也無(wú)助于我們體驗(yàn)游戲的精髓。
我們需要具備的，是獨(dú)立的思考、有創(chuàng)造力的思考，我們最不需要的就是“被訓(xùn)練”。就如高斯所說(shuō)：“我們需要的是想法，而不是符號(hào)?！?/span>
數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方式就像我們看電影或是看書(shū)一樣。
比如，我們看《西游記》，我不告訴你唐僧為什么取經(jīng)，他經(jīng)歷了什么事情，我就告訴你唐僧經(jīng)過(guò)了九九八十一難，最后取回了真經(jīng)，你要記住這八十一難都是什么，這個(gè)順序還不能亂，最后考試的時(shí)候你要把每一難的名字答上去就算通過(guò)了。
大家覺(jué)得這樣的閱讀是正確的嗎？如果大家覺(jué)得這樣看書(shū)是不對(duì)的，為什么這樣學(xué)數(shù)學(xué)就是對(duì)的呢？
其實(shí)數(shù)學(xué)和所有的文學(xué)、藝術(shù)、影視作品一樣，都是人類為了娛樂(lè)自己創(chuàng)造出來(lái)的。而且它比我們所有的游戲，比如足球、籃球、和我們看到的所有電影都更自由。
因?yàn)檫@些游戲非常依賴于我們這個(gè)現(xiàn)實(shí)世界的物理性質(zhì)，而數(shù)學(xué)是可以完全天馬行空的創(chuàng)造出一個(gè)世界來(lái)，那個(gè)世界的規(guī)則完全可以由你來(lái)決定，你只要把你想要解答的題目的條件帶入，使用一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?，找出答案就可以了。這就是一個(gè)更加自由、更加考驗(yàn)創(chuàng)造力的游戲。
03.
我們數(shù)學(xué)最大的問(wèn)題，我們每個(gè)人都“隱約”記得一些公式和定義，但清晰記得我們對(duì)它們的”憎恨”！
我說(shuō)數(shù)學(xué)其實(shí)就是一種游戲，你可以在你想象的世界里去制定規(guī)則，考驗(yàn)?zāi)愕膭?chuàng)造力。
我們舉一道“雞兔同籠”題，相信所有的孩子都被考過(guò)這道題：
籠子里有雞和兔若干只， 籠子里有25個(gè)頭和70只腳。問(wèn)：兔子和雞各有多少只？
我不知道大家是怎么做的題，我就記得我學(xué)這道題時(shí)，是在第一次學(xué)一元一次方程式，老師告訴我標(biāo)準(zhǔn)答案是：
我們假設(shè)兔的數(shù)量是 X：
4X＋2×（25－X）=70
X＝10
兔子＝10（只）
雞＝25－10＝15（只）
這么做對(duì)不對(duì)呢？肯定是對(duì)的。那這道題這么做好玩嗎？肯定不好玩。
“雞兔同籠”其實(shí)有特別多的證法，我給大家舉一個(gè)特別好玩的例子。
你想象一個(gè)世界，這一籠子的兔子和雞就在這個(gè)想象的世界里，你站在這個(gè)籠子前面，一聲令下，所有的動(dòng)物都抬起一只腳，這個(gè)時(shí)候還有多少只動(dòng)物站著？
70－25＝45只，還有45只腳站著，你再一聲令下，所有動(dòng)物又都抬起一直腳站著，這時(shí)候還有45－25＝20只腳站著，但是雞已經(jīng)一屁股坐地上了，因?yàn)殡u只有兩只腳全抬起來(lái)了，那站著的全是兔子，這20只腳全是兔子的，所以兔子有10只，雞就是15只。
這樣解這道題就好玩。
這道題還有很多種解法，我們還有一種解法。
假設(shè)雞也有四只腳，因?yàn)槲覀儧](méi)有把它的翅膀算做腳，我們假設(shè)所有的雞也有四只腳，那25個(gè)動(dòng)物里面應(yīng)該有100只腳，那為什么只有70只腳呢？因?yàn)橛?0個(gè)（100－70＝30）翅膀沒(méi)有算做腳嘛！那30個(gè)翅膀肯定就是雞的了，所以就是15只雞。
我們?cè)倥e個(gè)例子：這是一個(gè)矩形，就是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形里面有一個(gè)三角形，問(wèn)題就是：這個(gè)綠色的三角形面積和旁邊藍(lán)色三角形面積的比是多少？
正常來(lái)說(shuō)我們的標(biāo)準(zhǔn)答案是：
三角形的面積＝1／2×底×高
矩形面積＝底×高
這么一算矩形內(nèi)三角形內(nèi)和三角形外的面積比是1：1，這么解對(duì)不對(duì)呢？肯定對(duì)！那這么解好不好玩呢？肯定不好玩。
我們來(lái)說(shuō)另外一種解法。
還是放到我們想象的世界里。
把它想象成一張紙，我們從三角形頂點(diǎn)向下畫(huà)一條線，把它撕開(kāi)，它變成了兩個(gè)方形，每一個(gè)方形都被對(duì)角線分割成了一模一樣的兩個(gè)部分，也就是每一個(gè)方形里面綠色和藍(lán)色部分的面積都是一樣的，他們合起來(lái)的面積也是一樣的，也是1：1。
我們?cè)倥e一個(gè)例子，有條直線上面有兩個(gè)點(diǎn)，從左邊這個(gè)點(diǎn)到達(dá)直線再到達(dá)右邊這個(gè)點(diǎn)最短的距離怎么畫(huà)？我們可以多種情況畫(huà)，怎么才能畫(huà)出最短的線呢？
最簡(jiǎn)單的方法是：
在右邊那個(gè)點(diǎn)給它一個(gè)鏡像，也就是給它一個(gè)對(duì)直線來(lái)說(shuō)對(duì)稱的點(diǎn)，因?yàn)檫@個(gè)藍(lán)色的點(diǎn)和直線上面它對(duì)稱的那個(gè)綠色的點(diǎn)對(duì)于這個(gè)直線的位置是一樣的，所以我們從左邊這個(gè)綠點(diǎn)到右邊這個(gè)綠點(diǎn)，就可以轉(zhuǎn)換成從左邊這個(gè)綠點(diǎn)到右邊這個(gè)藍(lán)點(diǎn)，兩點(diǎn)之間最短的距離是一條直線，它與原來(lái)那條直線有個(gè)交點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)連上直線上面左右兩個(gè)綠點(diǎn)的直線間距離就是我們要畫(huà)的最短的距離。
我們可以不知道那些公式、定理，我們可以在我們想象的世界里把這些東西做的很有意思。這就是數(shù)學(xué)的意義，這就是數(shù)學(xué)訓(xùn)練我們真正的目的。不是訓(xùn)練我們什么計(jì)算能力，它是訓(xùn)練我們一種數(shù)學(xué)思維。
04.
什么是數(shù)學(xué)思維呢？我特意查了一下百度，百度對(duì)數(shù)學(xué)思維的概念是這樣：數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)的思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的思考形式，也就是能夠用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，比如轉(zhuǎn)化與劃歸、從一般到特殊、特殊到一般、函數(shù)/映射的思想等等。
說(shuō)得對(duì)，但不好懂。我怎么理解數(shù)學(xué)思維的呢？數(shù)學(xué)思維就是游戲思維，就是窮盡你的想象力去創(chuàng)造一個(gè)世界，然后用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C和邏輯推理去得到一個(gè)答案。是一種高度抽象并解決問(wèn)題的能力。
數(shù)學(xué)思維給你的是重新看世界的一雙眼睛，看這個(gè)世界的另外一種眼光。有的時(shí)候它可能跟我們對(duì)這個(gè)世界的直覺(jué)理解會(huì)比較大的的區(qū)別。我舉幾個(gè)的例子：
我們知道，自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)。
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12…… 自然數(shù)
2，4，6，8，10，12，14，16，18，20…… 偶數(shù)
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19…… 奇數(shù)
大家覺(jué)得，自然數(shù)、偶數(shù)和奇數(shù)這三種數(shù)那個(gè)數(shù)的數(shù)目多？我們從直覺(jué)上感覺(jué)偶數(shù)和奇數(shù)組合成了自然數(shù)，自然數(shù)自然比它們多，但是從數(shù)學(xué)角度來(lái)說(shuō)它們?nèi)齻€(gè)數(shù)是一樣多的，因?yàn)樗麄內(nèi)齻€(gè)的數(shù)目都是無(wú)窮。
我們?cè)倥e個(gè)例子。
一個(gè)屋子里有23個(gè)人，他們有兩個(gè)人的生日是同一天的可能性大不大？
直覺(jué)來(lái)說(shuō)我們出去坐公交車、去機(jī)場(chǎng)等經(jīng)常會(huì)碰見(jiàn)很多人，但我們都不會(huì)覺(jué)得在這么多人里面會(huì)有兩個(gè)人的生日一樣。
從數(shù)學(xué)的角度來(lái)說(shuō)，在23個(gè)人的這個(gè)人群里，有兩個(gè)人的生日是同月同日的概率超過(guò)50%。為什么？因?yàn)槲覀儼衙恳粋€(gè)人的生日和另外22個(gè)人作對(duì)比，那它就是有253次對(duì)比的機(jī)會(huì)，在這253次對(duì)比中出現(xiàn)相同的概率是非常高的，這個(gè)就被稱為“生日悖論”。
在計(jì)算機(jī)里面呢，有一種專門破解密碼的方式叫做生日攻擊，它的原理就是從生日悖論來(lái)的。
我再舉個(gè)悖論例子。
減肥，從某種數(shù)學(xué)的角度來(lái)說(shuō)，減肥這個(gè)事是不可能的。因?yàn)橄胍獪p掉10斤，首先得減掉5斤，那想減掉5斤，就得先減掉2.5斤，想要減掉2.5斤，就先得減掉1.25斤。這個(gè)是無(wú)窮的對(duì)折，但人無(wú)法減掉一個(gè)無(wú)窮的數(shù)，所以減肥是不可能的。
就像龜兔賽跑。只要烏龜先跑，兔子就永遠(yuǎn)都追不上。為什么？因?yàn)橥米佑肋h(yuǎn)要到達(dá)烏龜之前到達(dá)的那一個(gè)點(diǎn)，那兔子只要到達(dá)那一個(gè)點(diǎn)，那烏龜就又往前移動(dòng)了，所以兔子永遠(yuǎn)都無(wú)法追上烏龜。
我們知道這個(gè)在現(xiàn)實(shí)生活中是不可能的，但是大家想想，這一個(gè)一個(gè)的著名“悖論”，就是數(shù)學(xué)家在玩的一個(gè)一個(gè)游戲。如果說(shuō)我們學(xué)數(shù)學(xué)是希望有用，那我告訴大家，你只要學(xué)會(huì)加減法，會(huì)用計(jì)算器就可以了。因?yàn)閿?shù)學(xué)就是數(shù)學(xué)家在玩的游戲。
那應(yīng)該要怎樣鍛煉數(shù)學(xué)思維？我覺(jué)得要把每一個(gè)數(shù)字都看成游戲中的一個(gè)元素。忘掉所有的公式和定理，用自己愿意、喜歡的方法去求證問(wèn)題，然后不斷試錯(cuò)。
另外就是玩真正的游戲，比如象棋、圍棋、桌游。我前兩天親眼見(jiàn)到了一個(gè)十歲的孩子在玩數(shù)學(xué)推理的桌游，名字叫“達(dá)芬奇密碼”，把兩個(gè)二十八九歲、有碩士學(xué)位的成年人打的大敗。
05.
我總說(shuō)數(shù)學(xué)是一個(gè)游戲，有證據(jù)嗎？讓我們回到數(shù)學(xué)的發(fā)端，畢達(dá)哥拉斯，人類最早的數(shù)學(xué)家之一。
他生活在2600年之前，特別好玩，他認(rèn)為這個(gè)世界就是由數(shù)字支配的，數(shù)字是這個(gè)世界的真理，所以他對(duì)數(shù)字帶有一種神性的膜拜，他給每個(gè)數(shù)字都賦予意義。比如他認(rèn)為1是世界的開(kāi)始，4是完美，5是婚姻等等。
雖然他對(duì)數(shù)字有這樣神性的崇拜，但是他依然在拿數(shù)字做游戲。
比如說(shuō)，他給這些數(shù)字增加了很多的名稱，比如他認(rèn)為6是一個(gè)完滿數(shù)，因?yàn)檫@個(gè)數(shù)可以被1，2，3整除。1加2加3正好等于6，所以他認(rèn)為6這個(gè)數(shù)是一個(gè)完滿數(shù)。
10可以被1，2，5整除，1加2加5等于8，不到10，所以他認(rèn)為10就是個(gè)虧數(shù)，他用這種做游戲的方式給各種各樣的數(shù)字一些新的稱呼。
他還說(shuō)“朋友是你靈魂的倩影，要像220和284一樣親密”，這句話聽(tīng)著就特別像神經(jīng)病人說(shuō)的話啊，220和284兩個(gè)數(shù)字有什么可親密的呢？
220和284這兩個(gè)數(shù)字，畢達(dá)哥拉斯把他們稱之為親和數(shù)，他們代表了友誼和愛(ài)情。因?yàn)?20它可以被1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110整除，這些數(shù)加起來(lái)正好等于284。284可以被1，2，4，71，142整除，這些數(shù)加起來(lái)正好等于220。所以他認(rèn)為284和220是一對(duì)親和數(shù)，他們代表著友誼、愛(ài)情。
所以那個(gè)時(shí)候做徽章，就會(huì)刻著數(shù)字220和284，表示我們之間是好朋友。
畢達(dá)哥拉斯還辦了一所學(xué)校，叫畢達(dá)哥拉斯半圓。
他為了招學(xué)生，他就跟學(xué)生說(shuō)，你們過(guò)來(lái)跟我上課，每上一堂課我就給你多少錢。過(guò)了一段時(shí)間之后，他就跟他的學(xué)生說(shuō)，他說(shuō)“哎，我沒(méi)錢了，我不能給你們上課了，咱們解散吧”。
這時(shí)候?qū)W生學(xué)他的課已經(jīng)很入迷了，學(xué)生就說(shuō)，這不行，你不給我上課，我這日子沒(méi)法過(guò)呀，那這樣，你給我上一堂課，我給你錢吧。所以畢達(dá)哥拉斯就開(kāi)始每上一堂課，學(xué)生們就給他錢，他就把這個(gè)錢給賺回來(lái)了。
畢達(dá)哥拉斯還成立了一個(gè)組織，叫畢達(dá)哥拉斯兄弟會(huì)。最多的時(shí)候有300人。他們?cè)谝黄鹆恼軐W(xué)、數(shù)學(xué)，是當(dāng)時(shí)的一個(gè)精英組織。這個(gè)兄弟會(huì)想加入很難，必須要經(jīng)過(guò)畢達(dá)哥拉斯本人的面試。有一個(gè)人面試沒(méi)通過(guò)就懷恨在心。
有一次趁著戰(zhàn)爭(zhēng)，把畢達(dá)哥拉斯兄弟會(huì)的大門緊鎖，在里面放了一把火，包括畢達(dá)哥拉斯本人在內(nèi)很多兄弟會(huì)的人都被燒死了，只有少數(shù)的幾個(gè)人逃了出來(lái)，逃到了世界各地，最后為畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在世界各地的生根發(fā)芽奠定了基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)也因?yàn)樗麄兌辛伺畈陌l(fā)展。
06.
畢達(dá)哥拉斯之后出現(xiàn)了很多著名的數(shù)學(xué)家，比如歐幾里得，有次上課的時(shí)候，他的學(xué)生突然站起來(lái)問(wèn)他說(shuō)，“我們學(xué)這些東西，現(xiàn)實(shí)生活中到底有什么用”，歐幾里得回頭跟旁邊的奴仆說(shuō)，你給這個(gè)人拿三個(gè)錢幣，讓他走，他居然想從數(shù)學(xué)中得到實(shí)際的用處”。
歐幾里得認(rèn)為數(shù)學(xué)原本就是和實(shí)際生活沒(méi)關(guān)系的，想在現(xiàn)實(shí)中得到實(shí)際的用處就是對(duì)數(shù)學(xué)的羞辱。
歐幾里得之后，希臘對(duì)數(shù)學(xué)的研究，就已經(jīng)偏向幾何了，就算要解決代數(shù)問(wèn)題，一般也套一個(gè)幾何的殼子。直到出現(xiàn)了一個(gè)人，這個(gè)人叫丟番圖，他可以說(shuō)是古希臘集數(shù)學(xué)之大成者，他把代數(shù)從幾何里拽了出來(lái)，這個(gè)人也被稱為代數(shù)之父。
他寫(xiě)了一本書(shū)《算數(shù)》，殘卷現(xiàn)在還保留著。這本書(shū)原來(lái)是收藏在亞歷山大圖書(shū)館的，后來(lái)大家知道亞歷山大圖書(shū)館被毀掉了，很多書(shū)只留下了殘本。
丟番圖之后，因?yàn)樯駥W(xué)的興起，數(shù)學(xué)就一落千丈，一直到一千年之后文藝復(fù)興時(shí)期，人們才重新開(kāi)始關(guān)心數(shù)學(xué)。
1667年，法國(guó)有一個(gè)大法官叫費(fèi)馬，他是一個(gè)數(shù)學(xué)愛(ài)好者，他在《算數(shù)》這本書(shū)的某一頁(yè)寫(xiě)了一句話，他說(shuō)：“當(dāng)n＞2時(shí)，a∧n+b∧n=c∧n，這個(gè)公式?jīng)]有正整數(shù)解，對(duì)于這道題，我已經(jīng)想到了一個(gè)美妙的證法，很可惜地方不夠，沒(méi)法寫(xiě)?！?/span>
就這么一句話，困擾了數(shù)學(xué)家?guī)装倌辍Ｖ钡?994年，才最終驗(yàn)證。人類被它困擾了三百年，被稱為費(fèi)馬大定理。費(fèi)馬大定理的驗(yàn)證過(guò)程，就是整個(gè)數(shù)論的發(fā)展歷史，這里邊有太多熠熠生輝的名字，比如高斯、歐拉等等。
還有很多好玩的故事，比如德國(guó)有一個(gè)數(shù)學(xué)愛(ài)好者，也是個(gè)商人，叫沃爾夫凱勒，他做生意很成功，掙了很多錢，但他追求一個(gè)女孩追不上，很痛苦，準(zhǔn)備自殺。
他是個(gè)德國(guó)人，做事很嚴(yán)謹(jǐn)，自殺那天他列了一個(gè)計(jì)劃：7點(diǎn)干什么、8點(diǎn)干什么……最后要在午夜12點(diǎn)鐘聲響起的時(shí)候，吞槍自盡。但是他做事比較快，9點(diǎn)鐘就把所有事做完了，又不想放棄美感提前自殺，那干點(diǎn)什么呢？
他就隨手抄起了一本書(shū)。因?yàn)槭且粋€(gè)數(shù)學(xué)愛(ài)好者，他拿起的是一本數(shù)學(xué)期刊，里面有一篇論文，是一個(gè)著名數(shù)學(xué)家驗(yàn)證另外兩個(gè)數(shù)學(xué)家對(duì)費(fèi)馬大定理的驗(yàn)證是錯(cuò)誤的，而且他推論費(fèi)馬大定理在現(xiàn)階段是無(wú)法驗(yàn)證的。
沃爾夫凱勒在閱讀中發(fā)現(xiàn)了作者的一個(gè)漏洞——使用了一個(gè)未經(jīng)證明的公式，于是他就拿起筆開(kāi)始對(duì)論文進(jìn)行彌補(bǔ)。等他做了一整晚的驗(yàn)算，補(bǔ)足了論文的漏洞時(shí)，已經(jīng)是第二天早晨了。
這個(gè)時(shí)候，他的心情非常舒暢，作為數(shù)學(xué)愛(ài)好者居然幫助一個(gè)著名的數(shù)學(xué)家補(bǔ)足了論文漏洞。他感覺(jué)生活太美好了，不再想自殺了，之后還捐出了10萬(wàn)馬克，承諾獎(jiǎng)給在他死后100年之內(nèi)，解決費(fèi)馬大定理的人。
最后完成了驗(yàn)證費(fèi)馬大定理的是安德魯·懷爾斯，著名的英國(guó)數(shù)學(xué)家，他在1993年的一次大會(huì)上宣布自己證實(shí)了費(fèi)馬大定理，但在一個(gè)月之內(nèi)，被同行評(píng)議發(fā)現(xiàn)論文中有一個(gè)重大疏忽。
在繼續(xù)補(bǔ)足疏忽中，他一度想要放棄。期間，他的太太一直在鼓勵(lì)他，對(duì)他說(shuō)“我最想要的生日禮物，就是你對(duì)定理的最終驗(yàn)證”。
安德魯?shù)谝淮伟l(fā)布有漏洞的論文是在1993年8月，他太太的生日是在10月，結(jié)果直到第二年的9月19日，他才最終真正完成了費(fèi)馬大定理的驗(yàn)證。
在太太的生日晚會(huì)上，安德魯從樓上拿下來(lái)一疊稿紙交給他的太太，對(duì)她說(shuō)：“我完成了費(fèi)馬大定理，我結(jié)束了困擾人類三百年的難題，這就是我給你的生日禮物?！?/span>
看看，數(shù)學(xué)家也是很會(huì)煽情的。安德魯?shù)淖罱K證明寫(xiě)了足足一百頁(yè)，后來(lái)就有人說(shuō)費(fèi)馬寫(xiě)下那句著名的話“對(duì)于這道題，我已經(jīng)想到了一個(gè)美妙的證明法，但是很可惜地方不夠，沒(méi)法寫(xiě)”的時(shí)候，其實(shí)并沒(méi)有真正驗(yàn)證這個(gè)猜想的能力，因?yàn)楝F(xiàn)在看到的最終證明里，用到了很多費(fèi)馬去世一百年之后才發(fā)明的數(shù)學(xué)模型和公式。
其實(shí)費(fèi)馬大定律就是費(fèi)馬自己想出來(lái)的一個(gè)數(shù)學(xué)游戲，很多的數(shù)學(xué)家來(lái)一起玩兒。而數(shù)學(xué)的發(fā)展就是由一個(gè)又一個(gè)的游戲來(lái)推動(dòng)的。
比如，一個(gè)叫希爾伯特的數(shù)學(xué)家，他有一個(gè)特別的稱呼，叫數(shù)學(xué)之王。他在1900年提出了人類要解決的二十三個(gè)數(shù)學(xué)難題，然后在2000年的時(shí)候，一些數(shù)學(xué)家模仿他，提出了千禧年七大數(shù)學(xué)難題。這些題就是推動(dòng)了這一百多年主流數(shù)學(xué)的發(fā)展，其實(shí)就是三十個(gè)數(shù)學(xué)游戲。
這些游戲包括我們都知道的哥德巴赫猜想，希爾伯特提出的二十三個(gè)人類要解決的數(shù)學(xué)題，目前還有九個(gè)沒(méi)有得到論證。
千禧年的七大數(shù)學(xué)難題已經(jīng)有一個(gè)被驗(yàn)證了，就是龐加萊猜想，被俄羅斯數(shù)學(xué)家格里高利佩雷爾曼驗(yàn)證。他證實(shí)了龐加萊猜想后，沒(méi)有去領(lǐng)菲爾茨獎(jiǎng)，仍然住在圣彼得堡的一個(gè)簡(jiǎn)陋的單身公寓里，他沒(méi)有去領(lǐng)獎(jiǎng)金也不接受媒體的采訪。
后來(lái)美國(guó)的一個(gè)記者終于在圣彼得堡堵住了偑雷爾曼。但是佩雷爾曼就在公寓里面不開(kāi)門，隔著門咆哮：不要來(lái)煩我，我應(yīng)有盡有！
其實(shí)真正的數(shù)學(xué)家的樂(lè)趣不是來(lái)自于現(xiàn)實(shí)生活上的物質(zhì)。而是來(lái)自于數(shù)學(xué)的虛擬世界，在這個(gè)世界盡情的游戲。
07.
如果我們要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)到底在我們現(xiàn)實(shí)中有什么意義，那可以說(shuō)，數(shù)學(xué)思維讓我們有更理性的思考，更有邏輯的分析。能夠用另外一種眼光來(lái)看這個(gè)世界。
最起碼，它能讓我們少上一些當(dāng)，能讓我們看穿一些初級(jí)騙局。
舉個(gè)例子，在雷鋒日記里有一段話說(shuō)：我連過(guò)年所放的假都沒(méi)有休息。我去撿大糞，初一初二那兩天我一共撿大糞六百來(lái)斤。我想這也是響應(yīng)黨的號(hào)召，大積肥，也搞了衛(wèi)生運(yùn)動(dòng)也能夠促進(jìn)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)。
其實(shí)這是一道數(shù)學(xué)題，一共撿大糞六百多斤，兩天撿大糞六百多斤，一天就是一百五十公斤。一百五十公斤的糞便，約等于一千四百坨。
我們假設(shè)雷鋒同志從早上九點(diǎn)出門，晚上五點(diǎn)回來(lái)，這中間不吃不喝不停的勞動(dòng)。平均每小時(shí)撿糞一百七十五坨，每分鐘2.9坨。
我們知道那是大年初一初二，他在撫順，天特別冷，糞便應(yīng)該都凍在地上很難弄的，我們不去計(jì)算鏟下來(lái)需要多少時(shí)間，把所有時(shí)間都忽略掉。平均每二十秒就要撿起一坨，相當(dāng)于他每一步都能撿到。
我看到過(guò)一篇文章寫(xiě)道“雷鋒同志，你哪里是在撿糞呀，你分明就是在糞坑里呀。”
給大家推薦一本書(shū)《數(shù)學(xué)家的嘆息》，不管你是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有困難的孩子，還是家長(zhǎng)、老師，都特別推薦這本書(shū)。
扉頁(yè)上寫(xiě)著《小王子》的作者的一句話：如果你要造船，不要招攬人來(lái)搬木柴，不要指派任務(wù)和工作，而要教他們渴望那無(wú)邊無(wú)際、廣袤的大海。
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